미분적분

적분

 

 

수학의 미분 적분에서 그 유명한 적분의 겨념을 이해할려면

 

위의 그림의 2 차 함수를 속도함수라고 생각해야합니다

 

 

무슨 말이냐 하면 위의 그림에서

 

 

어떤 운동하는 물체의

 

 

1 초 후의 속도는 1

 

2 초 후의 속도는 4

 

3 초 후의 속도는 9

 

이런 식으로 함수의 높이가 속도를 나타낸다고 생각해야합니다

 

 

이제부터

 

이 움직이는 물체의 움직인 거리를 구할려고 합니다

 

 

초딩 중딩 수학 과학 교과서에서

 

속도 그래프에서는 면적이 바로 물체가 움직인 거리가 된다고

 

수없이 많이 나와 있습니다

 

 

속도 그래프에서는 면적이 바로 물체가 움직인 거리가 된다

 

이 말이 무슨 뜻인지 모른다면

 

다시 초딩  중딩 교과서로 돌아 가서

 

기초를 튼튼히 다진 다음에 적분을 해야 합니다

 

 

이제부터

 

이 운동하는 물체가

 

처음 1 초 동안 움직인 거리를 구해 보겠습니다

 

 

 

 

 

위의 그림에서

 

x  축은 시간을 나타냅니다

 

 

빨간색칠 한 부분의 면적을 구해 주면

 

그것이 이 물체가 처음 1 초 동안 움직인 거리가 됩니다

 

 

왜냐하면

 

저가 이 2 차 함수는 속도함수라고 앞에서 말했고

 

속도 그래프에서는 면적이 바로 물체가 움직인 거리가 된다고 

 

그 말도 했거든요

 

 

저 빨간색 부분른 위쪽이 곡선으로 둘러 쌓여 있는데

 

면적을 구하는 것이 과연 가능한가 ?

 

 

수학에서 적분이라는 테크닉이 있기 때문에 충분히 가능합니다

 

 

위의 그림의 2 차 함수를 적분하면 3 차 함수가 되는데

 

그 3 차 함수가 위의 그림에 적혀 있습니다

 

 

저 3 차 함수에 1 을 대입하면  1/3 이 되는 군요 ㅎㅎㅎ

 

 

그 1/3 이 저 빨간 색칠한 부분의 면적이며

 

그 1/3 이 바로 이 물체가 처음 1 초 동안 음직인 거리입니다

 

 

 

이제는

 

 

이 운동하는 물체가

 

처음 2 초 동안 움직인 거리를 구해 보겠습니다

 

 

 

 

 

 

 

위의 그림에서

 

x  축은 시간을 나타냅니다

 

 

빨간색칠 한 부분의 면적을 구해 주면

 

그것이 이 물체가 처음 2 초 동안 움직인 거리가 됩니다

 

 

왜냐하면

 

저가 이 2 차 함수는 속도함수라고 앞에서 말했고

 

속도 그래프에서는 면적이 바로 물체가 움직인 거리가 된다고 

 

그 말도 했거든요

 

 

저 빨간색 부분른 위쪽이 곡선으로 둘러 쌓여 있는데

 

면적을 구하는 것이 과연 가능한가 ?

 

 

수학에서 적분이라는 테크닉이 있기 때문에 충분히 가능합니다

 

 

위의 그림의 2 차 함수를 적분하면 3 차 함수가 되는데

 

그 3 차 함수가 위의 그림에 적혀 있습니다

 

 

저 3 차 함수에 2 를  대입하면  8/3 이 되는 군요 ㅎㅎㅎ

 

 

그 8/3 이 저 빨간 색칠한 부분의 면적이며

 

그 8/3 이 바로 이 물체가 처음 2 초 동안 음직인 거리입니다

 

 

이제는

 

 

이 운동하는 물체가

 

처음 3 초 동안 움직인 거리를 구해 보겠습니다

 

 

 

 

 

 

 

위의 그림에서

 

x  축은 시간을 나타냅니다

 

 

빨간색칠 한 부분의 면적을 구해 주면

 

그것이 이 물체가 처음 3 초 동안 움직인 거리가 됩니다

 

 

왜냐하면

 

저가 이 2 차 함수는 속도함수라고 앞에서 말했고

 

속도 그래프에서는 면적이 바로 물체가 움직인 거리가 된다고 

 

그 말도 했거든요

 

 

저 빨간색 부분른 위쪽이 곡선으로 둘러 쌓여 있는데

 

면적을 구하는 것이 과연 가능한가 ?

 

 

수학에서 적분이라는 테크닉이 있기 때문에 충분히 가능합니다

 

 

위의 그림의 2 차 함수를 적분하면 3 차 함수가 되는데

 

그 3 차 함수가 위의 그림에 적혀 있습니다

 

 

저 3 차 함수에 3 을 대입하면  9 가 되는 군요 ㅎㅎㅎ

 

 

그 9 가  저 빨간 색칠한 부분의 면적이며

 

그 9 가 바로 이 물체가 처음 3 초 동안 음직인 거리입니다

 

 

그런데

 

속도 함수가 2 차 함수로 표시되는 것은 아주 특수한 경우이며

 

 

위의 그림을 자세히 보세요

 

속도 100킬로미터/시간  자동차가 4 시간 동안 달린 거리는

 

빨간색 부분의 면적이며

 

면적은 400

 

 

1 시간 동안 100 킬로미터를 달리는 (속도)

 

이 자동치는 4 시간 동안 400 킬로미터를 운동한 결과가 됩니다

 

(자동차가 서울에서 부산까지 달린 결과를 나타내는 그래프입니다)

 

 

저 그림을 잘 보면

 

속도 그래프에서

 

면적이 바로 움직인 거리가 된다는 말 뜻도 분명하게 알 수 있습니다

 

 

저런 운동을 등속도 운동이라고 하는데

 

물체의 속도가 시종일관 일정하게 100 으로 변함이 없다고 해서 등속도 운동이라고 하며

 

초등학교 혹은 중학교 과정에서 다루는 운동이며

 

저런 등속도 운동에서 물체가 움직인 거리를 구하는 데는

 

적분이 필요하지 않습니다

 

 

저 면적은 초등학고 2 학년이면 충분히 구할 수 있습니다

 

다만 저 등속도 운동은

 

속도 그래프에서

 

면적이 바로 움직인 거리가 된다는 말 뜻을 이해하기 위해서 굉장히 중요합니다

 

 

그리고

 

고등학교 과정에서 다루는 등가속도 운동

 

그 등가속도 운동에서도

 

 

 

 

속도 함수 그래프가  직선 스타일의

 

사다리꼴 모양 이기 때문에  (속도가 규칙적으로 증가하기 때문)

 

처음 4 초 동안 물체가 움직인 거리를 구하라 하면

 

사다리꼴 면적 구하는 방법 (초딩 실력이면 충분함)에 의해서

 

저 빨간색 부분의 면적을 구해 주면 되기 때문에

 

적분이란 것이 필요가 없습니다

 

 

적분은

 

속도 함수가 2 차 함수나 3 차 함수로 되어 있는

 

아주 특수한 경우에만

 

물체의 거리를 구하기 위해 사용됩니다

 

 

 

 

 

 y = x²    2 차 함수가 있습니다

 

미분

 

수학의 그 유명한 미분

 

미분의 개념을 정확하게 이해할려면

 

위의 그림의 2 차 함수를 거리 함수 혹은 위치함수라고 생각해야 합니다

 

무슨 말이냐 하면

 

 

x  축은 시간을 나타내고

 

y  (높이)는 위치 혹은 거리를 나타낸다고 생각해야 합니다

 

 

다시 말해서

 

어떤 물체가 1 초 후에는 1 미터 높이 (혹은 1 미터 앞쪽)에 있습니다

 

 

어떤 물체가 2 초 후에는 4 미터 높이 (혹은 4 미터 앞쪽)에 있습니다

 

 

어떤 물체가 3 초 후에는 9 미터 높이 (혹은 9 미터 앞쪽)에 있습니다

 

y = x²    그래프니까 이렇게 되는 것은 당연하죠

 

 

그런데

 

이 움직이는 물체의 속도를 알고 싶습니다

 

1 초 후의 속도

 

2 초 후의 속도

 

3 초 후의 속도

 

 

바로 여기에서 수학의 그 유명한 미분이라는 것이 등장합니다

 

 

거리함수 (거리 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

위치함수 (위치 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

이 말은 초딩 중딩 때 수없이 많이 배웠습니다

 

 

이 개념이 약하면 먼저 초딩 중딩 교과서로 돌아가서

 

이 개념을 분명히 하고 미분을 해야 합니다

 

 

그러면

 

이제

 

1 초 후의 

 

혹은

 

2 초 후의

 

혹은

 

3 초 후의

 

이 물체의 속도를 알려고 합니다

 

어떻게 하느냐 하면

 

 

 

빨간 동그라미 지점에서의 2 차 함수의 기울기가

 

1 초 후의 이 물체의 속도 입니다

 

거리함수 (거리 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

위치함수 (위치 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

이 말은 초딩 중딩 때 수없이 많이 배웠습니다  라고 앞에서 말했습니다

 

 

빨간 네모 지점에서의 2 차 함수의 기울기가

 

2 초 후의 이 물체의 속도 입니다

 

거리함수 (거리 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

위치함수 (위치 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

이 말은 초딩 중딩 때 수없이 많이 배웠습니다  라고 앞에서 말했습니다

 

 

 

빨간 세모 지점에서의 2 차 함수의 기울기가

 

3 초 후의 이 물체의 속도 입니다

 

거리함수 (거리 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

위치함수 (위치 그래프)에서  기울기가 속도가 된다

 

이 말은 초딩 중딩 때 수없이 많이 배웠습니다  라고 앞에서 말했습니다

 

 

 

 

이제 1 초 후의 이 물체의 속도를 구해 보겠습니다

 

 

 

 

 

빨간 동그라미 지점에서의  2 차 함수 (거리함수 혹은 위치함수)의 기울기가

 

1 초 후의 이 물체의 속도가 된다고 했는데

 

 

빨간 동그라미 지점에서의 2 차 함수의 기울기를 어떻게 구하느냐 하면

 

 

위의 그림에서 빨간 동그라미 지점 (A  지점)을 통과하는

 

검은 색의 직선 (접선)을 긋고

 

저 직선의 기울기를 구해주면 됩니다

 

그것이 바로 1 초 때의 저 물체의 속도입니다

 

 

그런데

 

저 직선의 기울기를 어떻게 구하느냐 하면

 

 y = x²    2 차 함수를 미분한 1 차 함수 2x (도함수라고 부릅니다)의 x 자리에

 

1 초 ( x =1) 의 1 을 대입합니다 

 

그러면

 

2 가 되겠죠 ㅎㅎㅎ

 

이 2 가 바로 저 접선의 기울기이며

 

이 2 가 바로 1 초 때의 저 물체의 속도입니다

 

 

이번에는

 

2 초 때의 저 물체의 속도를 구해 보겠습니다

 

 

 

 

 

 

빨간 네모 지점에서의  2 차 함수 (거리함수 혹은 위치함수)의 기울기가

 

2 초 후의 이 물체의 속도가 된다고 했는데

 

 

빨간 네모 지점에서의 2 차 함수의 기울기를 어떻게 구하느냐 하면

 

 

위의 그림에서 빨간 네모 지점 (M  지점)을 통과하는

 

검은 색의 직선 (접선)을 긋고

 

저 직선의 기울기를 구해주면 됩니다

 

그것이 바로 2 초 때의 저 물체의 속도입니다

 

 

그런데

 

저 직선의 기울기를 어떻게 구하느냐 하면

 

 y = x²    2 차 함수를 미분한 1 차 함수 2x (도함수라고 부릅니다)의 x  자리에

 

2 초 ( x =2) 의 2 를 대입합니다 

 

그러면

 

4 가 되겠죠 ㅎㅎㅎ

 

이 4 가 바로 저 접선의 기울기이며

 

이 4 가 바로 2 초 때의 저 물체의 속도입니다

 

 

이번에는

 

3 초 때의 저 물체의 속도를 구해 보겠습니다

 

 

 

 

 

 

 

 

 

빨간 세모 지점에서의  2 차 함수 (거리함수 혹은 위치함수)의 기울기가

 

3 초 후의 이 물체의 속도가 된다고 했는데

 

 

빨간 세모 지점에서의 2 차 함수의 기울기를 어떻게 구하느냐 하면

 

 

위의 그림에서 빨간 세모 지점 (K  지점)을 통과하는

 

검은 색의 직선 (접선)을 긋고

 

저 직선의 기울기를 구해주면 됩니다

 

그것이 바로 3 초 때의 저 물체의 속도입니다

 

 

그런데

 

저 직선의 기울기를 어떻게 구하느냐 하면

 

 y = x²    2 차 함수를 미분한 1 차 함수 2x (도함수라고 부릅니다)의 x  자리에

 

3 초 ( x =3) 의 3 을 대입합니다 

 

그러면

 

6 이 되겠죠 ㅎㅎㅎ

 

이 6이 바로 저 접선의 기울기이며

 

이 6이 바로 2 초 때의 저 물체의 속도입니다

 

 

지금까지의 사실들에서

 

무엇을 알 수 있나요

 

 

y = x²    2 차 함수를 미분한 1 차 함수 2x (도함수라고 부릅니다)만 있으면

 

이 물체의 모든 운동시간에서의 접선의 기울기를 알 수 있다

 

 

다시 말해서

 

 y = x²    2 차 함수를 미분한 1 차 함수 2x (도함수라고 부릅니다)만 있으면

 

이 물체의 모든 운동시간에서의 속도를 알 수 있다

 

 

미분해서 탄생한

 

2x  야 말로 엄청나게 중요한 기울기 측정기계 (속도 측정 기계)이다

 

 

그러면

 

도대체

 

y = x²    2 차 함수를 미분해서 탄생한

 

저 2x  라는  도함수가 왜 

 

원래 함수의 기울기 측정기계(속도 측정 기계)가 되느냐

 

또 미분한다는 것은 구체적으로 무엇을 의미하느냐

 

 

이걸 좀 더 정확히 이해할려면

 

우리가 극한이라고 부르는  lim  지식이 좀 있어야 합니다

 

물론 이 블로그의 다른 글에 그것에 관해 적어 놓기는 했지만 (찾아 보면 있음 !)

 

 

2. 미분 개념 - 미분 적분 미분 도함수 개념 뜨겁게 정복하기 산수 ^-^* 2008/03/19 21:43 http://blog.naver.com/redtea73/60049211122 이 포스트를 보낸곳 () <BASE target="_son">     x² 을 미분하면 2x  가 되는 이유 혹은   x² 을 미분해서  2x  가 된다는 것이 무슨 뜻인가 등을 알아 봅시다   어떤 함수의 한 점에서의 기울기를 구하는   수학적 테크닉을 미분이라고 합니다   빨간색으로 표시된  x  지점에서   위의 그림의 2 차 함수의 기울기를 구하려 합니다   다시 말해서   시커먼 동그라미 지점에서 저 2 차 함수의 기울기를 구하려 합니다   어떻게 하느냐 하면   시커먼 동그라미 지점 (A  지점)을 통과하는 직선(접선)M  을 긋습니다   그리고   저 직선  M  의 기눌기를 구해 주면   그게 바로 A  지점에서의 저 함수의 기울기가 됩니다   그러나   저 접선  M  을 정확하게 긋는다는 것은 불가능합니다   오차라고 하는 것이 있기 때문에   초정밀현미경으로 보면 이 세상에서   5 센치미터의 길이를 표시하는 수천억 개의 자의 5 센치미터의 길이가 모두 다릅니다   그런 오차 때문에   이 세상의   수 십억 사람이 위의 그림의 접선  M  을 그어도   그 접선은 모두가 다른 접선이 됩니다   그렇다면  A  지점에서   저 함수의 기울기를 구한다는 것은 영원히 불가능한가 ? ㅜㅜ   그렇지 않습니다   가능합니다 ★        X 축 위에 X + △X (검은색으로 표시된 부분) 이라는 가상의 점을 설정합니다     그러면 그 지점에 대응하는 가상의 높이 K  가 생깁니다     A  지점과 K  지점을 연결해서 두 지점의 기울기를 구해 줍니다   그래   가지고     뒷 지점인 K  지점을  A  지점에 한없이 가깝게 접근 시킵니다   그러면   K  지점이  A  지점에 접근해서 완전히 착 달라 붙어 버립니다   결국   결과적으로  A  지점에서의 기울기를 구한 결과가 되어 버립니다     그것을 설명한 것이 위의 그림입니다   뒷 지점과 앞 지점의 차이가 (X + △X) - x = △X  인데    △X  가 0 에 한없이 가까워진다는 그 말은   뒷 지점인 K  지점이 앞 지점인  A  지점에   한없이 가까워져서 달라 붙어 버리고   그래서   결국에는 두 지점에서의 기울기가 아닌     앞 지점  A  지점에서의 기울기를 구했다는 그 말입니다           위의 그림에서     f (X + △X)  는   X + △X 지점에서 저 함수의 높이를 나타내고     f (X )  는   X  지점에서 저 함수의 높이를 나타내고     △X는    (X + △X) 에서 x 를 뺀 차이값을 나타냅니다     이런 것들을 사용해 두 지점의 기울기를 나타냈습니다     두 지점의 기울기 구하는 방법은 초딩 중딩 교과서에 많이 나와 있습니다     다만   △X  가 0 에 한없이 가까워진다는  lim 표시를 추가한 것이   고딩 수학 미분  기울기의 차이점이고   미분을 정확하게 이해하기 위해서는   lim  극한 지식이 필요하다는 것을 알 수 있습니다     x² 을 미분하면 2x  가 되는 것도   무조건 외우지 말고   위의 그림의 도함수의 정의 방법으로 해 가지고 이해한 후에 암기를 해야 합니다         이렇게 해야   다양한 함수들의 미분적분을 근본적으로 정복할 수 있습니다   x² 을  여태까지 설명한 도함수의 정의에 의해 미분해서 2x 를 만드는     구체적인 방법은 교과서에 자세히 잘 나와 있습니다     저 그림의 말 뜻을 정확히 이해해야만  비로소   미분을 이해한다고 할 수 있습니다     그리고   여태까지의 설명을 잘 이해한다면     위에 있는 저 공식의 뜻도 충분히 이해 할 수 있습니다     저것도 역시 같은 말입니다     f(x) 함수의 x = a  인 지점에서의 기울기를 나타내는 식입니다     x = t  라는 가상의 점을 설정해 놓고   두 지점의 기울기를 구하는데     결국   뒷 지점인  t  가 앞 지점인  a  에 한 없이 가꺼워짐으로 말미암아   뒷 지점이 앞 지점에 착 달라 붙어 버리고   그 결과   결국   앞 지점인   f(x) 함수의 x = a  인 지점에서의 기울기를 구한 것입니다     두 가지 공식이 나와 있지만   둘 다 근본적으로 같은 말입니다 ㅎㅎㅎ ★ ★ ★        [출처] 2. 미분 개념 - 미분 적분 미분 도함수 개념 뜨겁게 정복하기 |작성자 크게이룰