삼각함수

삼각함수 [ 三角函數 trigonometric function ]

要約 :
직각삼각형의 한 예각에 의해 정해진 변 길이의 비, 이른바 삼각비의 정의를 일반각에 확장한 것.
詳細說明 :
직각삼각형의 한 예각에 의해 정해진 변 길이의 비, 이른바 삼각비의 정의를 일반각에 확장한 것. 이에 관한 덧셈정리 등의 성질이나 삼각형의 사인법칙·코사인법칙이 유도되어, 예로부터 측량문제 등에 응용되었다. 오늘날 삼각형이라고 하는 도형의 의미와 독립하여 수학의 연구대상으로서 확립되어 해석학에서 중요한 함수가 되었다.

〔삼각비〕

∠＝90°의 직각삼각형 ABC에서, 다음 6개 비의 값은 ∠의 크기만으로 정해지며 직각삼각형 ABC의 크기에는 관계가 없다〔그림 1〕.



이러한 비의 값을 각각 ∠의 사인·코사인·탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트라 하고, 이를 총칭하여 삼각비라 한다. 삼각함수는 삼각비의 개념을 확장한 것으로, 일반각 θ가 예각(0°＜θ＜90°)일 때는 삼각비의 정의와 일치한다.

〔삼각함수〕

평면 위에서 한 정점(定點；given point) 둘레의 회전을 생각할 때는 360° 이상의 각도도 고려된다. 또 회전 방향을 구별하기 위해 각에 양·음의 부호를 붙인다. 즉 시계바늘이 돌아가는 방향과 반대방향의 회전각을 ＜양의 각＞, 시계바늘이 돌아가는 방향과 같은 방향의 회전각을 ＜음의 각＞으로서 정한다〔그림 2〕.를 양의 상수로 하여, 좌표평면 위에서 원점 O 둘레를 길이의 선분 OP가 회전한다고 하고,축의 양의 방향으로 일반각 θ만큼 회전시킨 경우의 점 P의 좌표를라 하면, 다음 6개 비의 값은 θ만으로 정해지며 선분 OP의 길이와는 관계가 없다〔그림 3〕. 즉,



이들 값을 θ의 함수로 간주하여 삼각비의 명칭에 대응시켜 각각 사인함수·코사인함수·탄젠트함수·코탄젠트함수·시컨트함수·코시컨트함수라 하며 총칭해서 삼각함수라 한다. sinθ와 cosθ는 모든 실수 θ에 대해서 정의되지만, 다른 함수에 관해서는 위 식의 분모가 0이 되는 점 P에 대응하는 θ는 정의역에서 제외시켜 고려한다.이 2이상인 정수일 때, 또 이 경우에 한정하여, 예를 들면(sinθ)을 sinθ라고도 쓴다. 다른 삼각함수에 대해서도 마찬가지이다. 삼각함수 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.



여기서부터 삼각함수의 변수 θ는 호도법에 따른 수치로 한다. tanθ와 cotθ는 π를 주기로 하는 주기함수이며 그 외의 삼각함수는 2π를 주기로 하는 주기함수이다. 또 sinθ, tanθ, cotθ, cosecθ는 기함수(odd function)이며 cosθ, secθ는 우함수(even function)이다. 또한 다음 식이 성립한다.



이 식과 ⑴ ⑵를 조합하면 tanθ, cotθ 등에 관한 같은 형식의 식이 쉽게 유도된다.

〔삼각함수의 덧셈정리〕

임의의 α, β에 대하여 다음과 같은 식이 성립한다(복호동순). 이것을 삼각함수의 덧셈정리라 한다.
sin(±)=sincos±cossin
cos(±)=coscossin

…(덧셈정리)

이 덧셈정리로부터 다음의 ＜배각공식＞＜삼배각공식＞＜반각공식＞, 사인·코사인의 ＜곱을 합·차로 고치는 공식＞＜합·차를 곱으로 고치는 공식＞이 얻어진다.
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=2cosθ-1=1-2sinθ

…(배각공식)

sin3θ=3sinθ-4sinθ
cos3θ=4cosθ-3cosθ

…(삼배각공식)

…(반각공식)



다음 공식은 ＜드 무아브르의 정리＞라 하며 복소수의 거듭제곱·거듭제곱근 등의 계산에 사용된다.을 양의 정수,를 허수단위라 하면,
(cosθ＋sinθ)=cosθ＋sinθ

〔단진동〕

〔그림 3〕에서 OP가 일정한 각속도로 회전한다고 하고, 시간＝0일 때 θ=α라고 하자. P에서축,축으로 수선 PQ, PR를 내리면 점 Q, R는 각각축,축 위에서 시간의 함수로서,
＝cos＋＝sin＋
로 나타내어지는 운동을 한다. 위의 식은,



로도 쓸 수 있으므로,의 식과 본질적으로 같다고 생각해도 된다. 이와 같은 운동을 단진동이라 한다. 진자(흔들이)의 왕복운동은 진폭이 작을 때 이 식으로 나타낸다.

〔삼각함수의 미분·적분〕

이제부터 삼각함수의 변수는 각의 개념을 분리시켜 하나의 실수로 간주하여 문자로 나타내기로 한다. 예를 들어 함수 sin의 도함수를sin로 쓸 때,
sin＝cos,cos＝－sin
tan＝sec
cot＝－cosec
sec＝sectan
cosec＝－coseccot
가 성립한다. 특히 cos와 sin는 모든에 있어서 몇 번이라도 미분이 가능하며, 또 다음과 같이 멱급수로 전개할 수 있다.



위 미분법의 공식에서 그 역연산으로서의 부정적분 공식이 얻어지며, 특히 정적분에 관하여 다음의 ＜직교성＞이 성립하여 ＜푸리에급수론＞의 기초가 된다.이 정수일 때 다음 식이 성립한다.

〔복소변수의 삼각함수〕

⑷ ⑸에서 실수의 변수를 복소수로 치환하면, 우변의 멱급수는 임의의 복소수에 대해 수렴한다. 이러한 멱급수로 복소변수의 함수 cos, sin를 정의하면 이들은 처음의 실수의 함수 cos, sin의 확장으로서 앞의 덧셈정리 등의 공식은 모두 복소변수의 함수 cos, sin에 대해서도 성립한다. 또 복소변수의 지수함수,



을 이용하면,



로 되어, e델＝cos＋sin가 성립한다. 특히＝θ(θ는 실수)로 한 식,
e＝cosθ＋sinθ
를 ＜오일러의 공식＞이라 한다