각종 수두 및 Euler 이론 3
2.
그리고 물은 이 만큼의 일(에너지)을 받았을 것이다. 위치1′와 위치 2′를 회전차 입구 1, 출구 2에 접근시킨 극한을 생각하면, ωr2′, ωr1′는 각각 ωr2′→ωr2=u2, ωr1′→ ωr1=u2 이며, 각각은 회전차의 출구와 입구의 주속도가 된다. 따라서 물이 단위시간에 받는 일은 다음과 같이 표시된다.
요컨대 처음에 가정한 상황대로 물이 흐르고 있다면 물은 틀림없이 [8]로 표신된 만큼의 일을 전달받았을 거이다. 다만 실제로 이 만큼의 일이 물에 전달되었다고 하여도 모두가 속도, 압력 및 위치에너지라는 수력학적 에너지로 되어 있지는 않는다.
그 일부는 틀림없이 수력학적 에너지로는 회수할 수 없는 열에너지로 바뀌었을 것이다. L은 V만큼의 물에 전달될 일이다. 이 에너지를 단위중량 당의 일로 나타내면 다음과 같이 표시된다.
위에서 설명된 바와 같이 이 Hth는 이론 상 이용가능한 에너지량이라는 의미이므로 이론수두(Theoetical head)라고 불려진다. 1kgf의 물이 회전차를 통과함으로써 실제로 받는 유체역학적 에너지 Hf는 위의 설명과 같이 Hth 보다 작다. 양자의 차인
는 회전차를 통과할 때 발생하는 손실수두이다. 이 Hi에서 다시금 벌류트실 등의 회전차 이외의 펌프 내의 유로 전체에서 발생하는 손실수두Δhc를 제하면 처음에 언급한 총수두 H가 된다. 즉,
그리고 H와 Hth의 비 H/Hth 는 수력효율(Hydraulic efficiency)이라고 불려진다. [9]는 각 운동량의 관계식[6]과 연속조건식 [4]로부터 구하였으나, 이것을 에너지면에서 생각해보자.
1′ 및 2′지점에서 유동의 절대속도와 회전차에 대한 상대속도(Relative velocity)와의 관계, 즉 속도삼각형(Velocity triangle)을 그리면 [그림 2.2]와 같이 된다. 이들의 삼각형에 대하여 여현정리를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
마찬가지로 다음 식을 얻을 수 있고
2. 각종 수두 및 Euler 이론 2
다만 r1′, r2′는 각각 1′-1′면, 2′-2′면의 반경, b1′, b2′는 각각 회전차 입구직전과 출구직후의 유동통로의 폭이다. 또 ρ는 물의 밀도이다. 여기서 c1′, c2′가 z축 방향으로 균일하다고 하면 다음과 같이 된다.
회전차에 유입되는 수량을 V라고 하면 연속조건에 의해 V는 다음과 같이 된다.
이 관계를 사용하면 ΔI는 다음과 같이 표시된다.
회전차를 단위시간에 통과하는 물은 이 만큼의 각운동량을 받는다. 즉, 물은
에 상당하는 모멘트를 회전차에서 받고 있을 것이다. 따라서 회전차는 이 반력(Reaction)에 상당하는 모멘트(-M)에 대항하면서 각속도 ω(rad/s)로 회전하고 있다.
즉, 회전차는 다음으로 표시되는 만큼의 일을 한다.
. 각종 수두 및 Euler 이론 1
전 장에서 기술된 바와 같이 터보형 펌프는 유동하는 물에 연속적으로 에너지를 전달하는 기계이다. 펌프의 토출구에서 토출되는 물의 양이 펌프 토출량(Discharge) Q (㎥/min)이다.이 측정을 위해서 위어(Weir)가 사용되는 경우가 많은데, 상세한 내용은 JIS B 8302-76(KS B 6302)에서 규정되어 있다.
펌프가 흡입구와 토출구 사이에서 단위 중량의 물에 전달하는 수력학적 에너지 H(m)을 총수두(Total head)라고 한다. 펌프 흡입구와 토출구에서의 물의 속도를 cs, cd(m/s), 압력을 ps, pd(kgf/㎡), 위치수두를 hs, hd(m)라고 하면 수두 H는 [1]과 [1′]과 같다.
다만 γ는 비중량(kgf/㎥)이며 보통 cd=cs이다. 가로축 펌프의 경우 기준면은 축을 포함하는 수평면으로 한다. 지금pd, ps로서 각각 토출 측과 흡입 측의 압력계의 값을 그대로 사용하는 경우, 이들의 중심(진공계의 경우는 관로에의 부착위치)과 축과의 거리를 각각 yd, ys 라고 하면 수두 H는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이 펌프가 작동하는 하수면과 상수면의 차이, 즉 실양정(Actual head), Ha(m)는 일반적으로 H보다 작다. 양자의 차에 상당하는 에너지는 보통 밸브나 관로마찰 등에 의해 회수 불가능한 열에너지로 소비되는 양의 총량에 해당하는 것으로, 소위 관로손실 수두이다. 물이 펌프에서 받는 에너지 H는 회전차로부터 전달된다. 회전차 안을 통과하는 물에 일을 부가하는(또는 일을 받는) 경우에 대한 유체역학적 이론은 예로부터 많은 연구결과가 발표되어 있다.
그 중에서 가장 기본적으로 중요한 것이 Euler(오일러)이론이다. 다음에 이것을 설명한다. [그림 2.1]과 같은 원심형의 회전차를 생각하고 회전차의 입구 직전과 출구 직후의 유동은 완전히 축대칭이고 정상(Steady)이라고 한다. 회전차 입구 직전의 물의 절대속도(Absolute velocity)를 c1′(cm1′,cu1′), 출구직후의 속도를 c2′(cm2′cu2′)라고 한다.
다만 첨자 m, u는 각각 자오면 성분(Meridian component)과 원주방향 성분(Peripheral component)을, 또 첨자 1′, 2′는 각각 그림에 표시된 회전차 입구 직전과 직후의 위치를 나타낸다. 이 경우 물이 회전차를 통과하는 사이의 회전축(z축)에 관한 각 운동량(Moment of momentum)의 증가를 구하면 다음과 같다.
3.비속도와 비직경 1
펌프성능(Performance)이라 함은 회전속도 n(rpm), 토출량 Q(m3/min), 초수두 H(m), 소비동력 L(PS), 효율 η=γQH/L 등이며, 보통 n=const에서 Q를 가로축으로 하고, H, L, η의 각각의 항목을 세로축에 취하여 그들의 운전 상태 치를 나타내는 성능곡선으로 표시한다. [그림 1]은 그 실례를 보여준다.
물론 이들의 관계는 펌프의 크기와 형식에 따라 완전히 달라지게 된다. [그림 2]는 형식이 틀린 펌프에 대한 성능곡선의 경향을 각각 설계점의 성능으로 정규화(Normalize)하여 제시한 예이다. 이들의 곡선의 형상 차이가 각각의 펌프의 특징을 나타낸다. 이와 같은 특징, 또는 특성을 좀더 합리적인 방법으로 정리하여 인식하는 방법이 있다.
우선 기하하적으로 완전히 서로 상사한 두 개의 펌프를 생각해 보자. 전 절에서 기술된 바와 같이 펌프의 총수두 H는 다음과 같이 표시된다.
이 식을 변형하여 다음과 같이 나타낸다.
2. 각종 수두 및 Euler 이론 5
|
이것은 당연히 다음과 같은 관계를 갖는다. Hth<H∞인 깃 출구각 β2의 펌프에서 얻어질 수 있는 실제의 수도 Hth와 H∞와의 비
를 미끄럼계수(Slip factor, Vane efficiency)라고 부른다. 설계에 있어서는 요구되는 총수두 H에 대하여 적당히 수력효율 ηh를 가정해서 Hth를 결정하고 다음에 회전차 형상으로부터 적절한 χ를 가정하여 H∞를 구하고 주어진 유량 Q, 회전속도 n에 대해 설계하고자하는 회전차의 깃출구각 혹은 주속도 등의 주요치수를 결정한다. 그러나 임의의 회전차에 대해 χ를 정확히 구하는 것은 쉽지 않다. 다음에 깃 입구에 대하여 고찰한다. 유동은 완전한 축대칭이고 무한수의 깃을 갖는 회전차에서는 깃의 영향은 상류 측에 미치지 않는다고 생각한다. 유한수의 깃에서도 축대칭의 유동상태의 경우 거의 이와 가까운 상황이 성립한다고 생각할 수 있다. 따라서 어느 하나의 회전차에서 어느 정해진 유량일 때를 제외하면 일반적으로 회전차에 물이 유입되는 방향과 깃의 입구각은 일치하지 않는다.[그림 2.4] 즉 β1′≠β1이다. 펌프의 흡입관로를 통해서 회전차에 유입되는 물은 회전차입구 직전과 직후에서 깃 두께의 영향을 무시하면 임의의 유량에 대해
의 관계가 성립하지만, 원주방향성분에 대해서는 일반적으로
이다. 따라서 물은 회전차 입구부분에서 원주방향으로
의 급작스런 가속을 받아, 소위 충돌을 일으켜 직·간접적인 수력손실의 원인이 된다. 그래서 적어도 설계유량에서는 충돌손실이 일어나지 않도록
이 되도록 깃 입구각 β1을 택한다. 직각유입의 경우는
임으로 깃 입구각 β1은 설계유량에서 정확히
각종 수두 및 Euler 이론 4
이 관계식들을 [식 9]에 대입하면 다음과 같이 표시된다.
여기서 우변 제 3창이 다른 두 개 항들과 순서에 차이가 있는 점에 유의하여야 한다. 회전차 직전 1′와 출구 직후의 2′지점의 물이 갖는 수두를 비교하면 그 차는 다음과 같다.
위치수두에 차이가 없다고 하면 이것은 다음과 같다.
이 식을 [식2.14]의 우변과 비교해 보면 그 식의 제 2항과 제 3항이 압력수두의 증가와 손실에 대응하고 있음을 알 수 있다. 즉, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
상식의 우변과 제 1항은 원심력장에 의한 압력증가, 제 2항은 기 통로 내에서의 감속에 의한 압력증가를 나타낸다고 할 수 있다. 일반적으로 펌프와 팬 등의 회전차 내의 상대유속은 감속유동(Retarded Flow)이다. 감속유동은 유체점성에 의해 가속유동(Accelerated Flow)보다 훨씬 큰 마찰손실을 초래하고 유동박리(Flow Separation)를 일으키기 쉬우므로 설계에 있어서는 충분한 유체역학적 배려가 있어야 한다. 원심회전차의 경우 회전차에 접근하는 유동에는 보통 예선회 성분이 없거나 혹은 갖지 않도록 하고 있다. 즉 Cu1′=0이며, α1′(π/2)이므로 직각유입이라고 불리고 있다. 이 경우의 식[9]은 극히 간단하게 다음과 같이 표시된다.
앞으로는 직각유입상태만을 취급한다.[식 9] 혹은 [식 16]은 회전차를 통과한 물이 회전차의 직전, 직후에서 각각 c1′, c2′의 속도를 갖고 있는 것으로 하여 논의되었다. 그러나 이 만큼의 수두가 물에 전달되는 것은 회전차 내의 유동에 의한 것이며, 그 유동을 일으키는 것은 회전차이다. 그러므로 깃의 제원(Dimension)과 Hth를 결부시켜보자. 회전차에서 깃 수는 매우 많고 또한 깃 뚜께는 극히 얇아서 깃 통로를 좁히지 않는 이상적인 상태를 가정한다. 이와 같은 경우 물은 완전히 깃에 따라 흐르며, 회전차에서 토출하는 유동은 완벽한 축대칭이라고 생각할 수 있다. 이와 같은 경우 회전차의 출구 직후의 유동은 직전의 유동과 같다고 볼 수 있으므로 다음과 같이 둘 수 있다.
또 유동은 완전히 깃의 곡선에 따르고 있으므로 깃의 출구각 β2는 속도삼각형의 β2′와 동일하다. 이때의 이론수두는 다음과 같이 표시된다. 이 식으로부터 요구되는 이론수두
|
에 대한 무한수의 깃의 경우의 출구각 β2가 구해질 수 있다.실제 회전차는 몇 장의 깃밖에 갖지 않는다. 따라서 회전차 내에서 깃과 가까운 곳에서의 유동과 깃 통로 가운데에서의 유동이 서로 상사한 유선을 그리지는 않을 것이다. 이것은 유한수의 깃에 의해 유체에 일을 전달하는 한 원래 당연한 일이다. 따라서 축대칭 유동이라는 상태는 있을 수 없다. 깃 유한수의 상태에서 평균적인 유동을 생각하였을 때 회전차 내의 평균상대속도는 깃에 따르지 않으며 출구에서도 깃의 출구각 β2보다 작은 출구각 β2로 유출한다.[그림 2.3] 여기서 같은 크기의 자오면 속도성분 cm2에 대하여 유출각이 깃 각도 β2와 같다고 하여 구한 [식 18]의 우변의 값 H∞는 실제의 값 Hth보다 큰 값으로 되다. 여기서 Euler(오일러)식을 실제 펌프 내의 평균적인 유동에 대해 적용할 수 있다고 가정하여 유체가 받는 일 량 Hth를 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 
비속도와 비직경 4
|
그것을 좀 더 알기 쉽게 제시한 것이 마찬가지로 Eck에 의한 [그림 3.5]이다. [그림 3.6]은 수차에 대한 Cordier의 유명한 선도이며 [그림 3.4 (6월호)]에 대응한다. 이 그림 혹은 앞의 Rutchi의 그림에서도 알 수 있듯이 현재 실용되어 있는 펌프 등의 터보형 유체기계 각각의 형식에 대하여 최고 효율점을 φ′-ψ 혹은 σ-δ좌표 상에 표시하면 비교적 좁은 띠 상태로 분포하여 그것을 하나의 대표선으로 그릴 수도 있다. |
[그림 5]는 B. Eck가 여러 회전차의 송풍기의 최고 효율점 bep(Best dfficiency point의 약자)를 σ와 δ로 나타낸 것이다. 그림 중의 각 점은 각각 형상이 틀린 회전차이며, 흑점으로 제시된 원심송풍기(Radialgeblase:獨語)도 각각 틀린 형식을 나타내고 있다.
비속도와 비직경 3
펌프성능은 그 기하학적 형상과 회전차 지름 D 및 성능 치 n, Q, H, 중력가속도 g, 액체밀도 ρ, 점성계수 μ(Viscosity)들에 의해 다음과 같은함수관계를 만족한다고 한다.
그러면 이 함수는 차원해석의 ackingham 정리에 의해 다음의 3개의 무차원수에 의해 다음의 함수관계로 표현될 수 있다.
다시 말해서 특정의 형상을 갖는 펌프성능은 위와 같은 3개의 무차원량의 관계식에 의해 표현될 수 있음을 나타내고 있다. 그리고 이들의 무차원 량의 각각의 값을 똑같이 갖는 운전상태를 역학적으로 상사한 운전상태라고 정의하고 있다. 지금 위의 무차원수 π3는 일종의 레이놀즈(Reynolds)수임이 분명하다.
일반적으로 레이놀즈 수의 지배를 받는 유동현상의 무차원 관계식에서는 관로마찰계수와 레이놀즈 수 사이에서와 같이 레이놀즈 수가 어느 임계치를 넘으면 레이놀즈 수의 영향은 극히 작아지며 상수로 되는 경향이 있다. 펌프의 경우 그 임계치 자체는 확실하지는 않지만 여러 결과로부터 판단해보면 펌프의 사용영역은 대개의 경우 그와 같은 임계치를 넘 고 있다고 생각되어진다.
그래서 [식4]에서 ρ와 μ를 생략하면 [식 8] 대신에 다음의 두 개의 무차원수의 관계
가 얻어질 수 있다. 따라서 역학적으로 상사한 상태, 즉 π1, π′2=const의 상태에 있어서는
로 표현된다. 이것은 위에서 기술된 φ, ψ=const라는 것과 완전히 같은 내용이다. 예로부터 하나의 역학적 상사상태를 지정하기 위해서 φ만이 아니라 여러 지표들이 사용되고 있으나 그 중에서 제일 잘 사용되고 있는 것을 소개한다. 어느 펌프의 운전상태 하나에 대해, 그 펌프와 기하하적으로 상사한 모델펌프(Model Pump)에 의한 역학적으로 상사한 운전상태를 생각해 본다. 모델펌프의 제원에 하첨자 M을 붙이고 나타내면, 양 펌프의 제원사이에 역학적 상사상태에서는 [식 12], [식 13]으로부터 다음식이 성립한다.
nM, DM,QM, HM의 4개 양은 위의 두 식에 의해 규제될 뿐이므로 그들 중 2개의 양은 자유롭게 정할 수 있다. 그래서 QM=1, HM=1이라고 하여 프로토타이프(Proto type)와 역학적으로 상사한 운전상태를 실현하는 데 필요한 모델펌프의 회전속도 ns=nM[QM=1, HM=1]과 지름 Du=DM[QM=1, HM=1]을 생각하면 [식 12′], [식 13′]로부터 다음과 같이 된다
전자를 비속도(Specific speed), 후자를 비직경(Specific diameter)이라고 부른다. 이들 2개 양도 하나의 상사한 운전상태를 규정하는 값으로 사용될 수 있다. 보통은 ns가 운전상태의 지표로서 널리 사용되고 있다. 상용 단위를 사용하면 ns와 Du는 무차원이 되지 않고 차원을 갖는 상수를 포함한다.
완전히 무차원화 된 비속도 상당량(무차원 비속도)은 [식 2], [식 3]의 ψ 및 φ에 의해 다음과 같이 표시된다.
또 단위직경 상당의 무차원 값(무차원 비직경)은 다음과 같다
위에서 언급된 바와 같이 펌프형상이 정해지면 크기나 회전속도에 관계없는 성능곡선을 그릴 수 있다.
예를 들면 [그림 4]은 K. Rutchi가 어느 목적을 위해 여러 회전차 형식의 펌프에 대한 φ′-ψ를 그림에 나타낸 것이다. 이 그림에는 각각의 펌프에 대한 최고 효율점이 제시되어 있다. 이들 점만에 주목해 보면 회전차의 형상과 그것이 최고효율을 나타내는 운전상태(φ′bep, ψbep)의 점은 일의적으로 정해짐을 나타내고 있다. 이들의 값을 그 회전차의 특성치(Type characteristic)라고 부른다. 이 Rutchi의 그림에서 이들 점의 배열은 별로 매끄럽지 못하다. 이 점에 대하여는 나중에 기술한다.
3.비속도와 비직경 2
여기서 앞 식의 좌변과 우변에 포함되는 H와 Cm2를 다음과 같이 무차원화 하여 이들을 기호 ψ, φ로 표시한다.
이들의 양은 각각 양정계수(Head coefficient), 유량계수(Capacity coefficient)라고 불려진다.
두 개의 기하학적으로 서로 상사한 펌프에서는 β2가 서로 같으므로, 두 펌프에서 φ가 같아지도록 운전하면 이 운전상태 에서의 두 펌프의 출구속도 삼각형은 서로 상사가 된다. 일단 이 상태를 역학적 상사하고 부르기로 한다.
그리고 ηh 및 χ의 값은 φ만의 함수라고 볼 수 있다. 따라서 같은 φ에 대한 ψ의 값도 서로 같아진다. 회전차를 통과하는 유량 V와 토출량 Q의 비, 즉 체적효율(Volumetric efficiency), ηυ=(Q/V) 또한 φ만의 함수라고 하면 φ는 완전히 펌프의 운전상태를 대표하는 값이다.
따라서 어느 형상 펌프 성능곡선인 Q-H곡선은 펌프의 크기에는 관계없이 무차원 변수인 유량계수 φ와 양정계수 ψ의 관계로 완전하게 표현될 수 있게 된다.
소비동력에 대하여도 회전차의 길이대표를 적절히 택하면(예를 들어 회전차 바깥 지름 d2를 택하면), 대응하는 무차원 계수 k(동력계수)가 정의될 수 있으며, 기계효율 ηm이 상수이거나 φ만의 함수라고 볼 수 있는 한 k 또한 φ만의 함수가 된다.
따라서 나중에 언급되는 바와 같이 어느 하나의 형상의 펌프성능은 비교적 느슨한 제한 하에서 무차원 량 φ, ψ, …를 사용해서 완전하게 표현될 수 있다. 이 관계를 좀 더 다른 각도에서 취급하기로 한다.