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■ 부분적분部分積分(Integration by Parts)
주어진 함수 f(x) 에 대하여 미분하여 f(x) 가 되는 함수를 f(x) 의 부정적분이라 하고, 기호로 다음과 같이 나타낸다.
F(x) 를 f(x) 의 한 부정적분이라고 하면 임의의 상수 C 에 대하여 (F(x) + C)' = F'(x) = f(x) 이므로
으로 나타낼 수 있다. 또한 여기서 C 를 `적분상수`라 칭한다.
■ 정적분正積分(Difinite Integral)
함수 y = f(x) 가 구간 [a , b] 에서 연속이고 f(x) ≥ 0 일 때, 구간 [a , b]를 n 등분하고 각 소구간의 길이를 △x 라고 하면
이 된다. 따라서 n 개의 직사각형의 넓이의 합을 Sⁿ 이라 하면
여기서, n -> ∞ 일 때 Sⁿ 은 곡선 y = f(x) 와 두 직선 x = a , x = b 및 x 축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S 에 가까워진다.
이 극한값을 a 에서 b 까지의 f(x) 의 정적분이라고 하고 기호로 다음과 같이 나타낸다.
■ 정적분의 기본 정리
f(x) 가 폐구간 [ a , b ] 에서 연속이고, F'(x) = f(x) 이면
■ 넓이와 부피에의 응용
x 축 위의 점 x 를 지나고 x 축과 수직인 평면으로 이 회전체를 자른 단면은 반지름의 길이가 | f(x) | 인 원이므로 그 넓이
따라서, 회전체의 부피 V 는 다음과 같다.
또한 구간 [ a , b] 에서 곡선 y = f(x) 의 길이 ℓ 는
■ 속도와 거리에의 응용
■ 평면 운동에서의 경과 거리
점 P 의 시각 t 에서의 좌표 ( x , y ) 가 x = f(t) , y = g(t) 로 주어질 때, 시각 t = a 에서 t = b 까지의 점 P 의 경과 거리 s
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