삼각함수

 

기분좋은 느낌ミ☆ | 쉘미나
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1. 부채꼴과 라디안의 정의 　       (1) 라디안의 정의 : (2) 60분법과 호도법 사이의 관계 180°=π 　 (3) 부채꼴 ① 중심각    ② 호의 길이 l=rθ    ③ 넓이 S=rl=r2θ   2. 동경 OP의 일반각 　       (1) OP의 일반각 → θ=2nπ+α  ( n 은 정수, -π<α≤π ) 동경 OP 와 시초선 OX 가 이루는 절대값이 가장 작은 각이 α 일 때, 동경 OP의 일반각 θ는  θ=2nπ+α  (2) 두 동경의 위치관계 ① 동경이 일치: α-β=2nπ ② 원점에 대칭: α-β=2nπ+π ③ x 축에 대칭: α+β=2nπ ④ y 축에 대칭: α+β=2nπ+π     3. 일반각의 삼각함수       　 　 (1) 일반각의 삼각함수의 정의       cosθ=, sinθ=, tanθ=       (2) 삼각함수의 부호 cosθ=에서 x>0이면 cosθ>0 sinθ=에서 y>0이면 sinθ>0 tanθ=에서 xy>0이면 tanθ>0 　     4. 삼각함수의 값이 �은 각 　       (1) sine 값이 같은 각 : α 와 π-α       ←  동경이 y 축에 대하여 대칭 (2) cosine 값이 같은 각 : α 와 -α     ←  동경이 x 축에 대하여 대칭 (3) tangent 값이 같은 각 : α 와 π+α  ←  동경이 원점에 대하여 대칭     5. 삼각함수사이의 관계         (1) 역수관계 ① secθ= ② cscθ= ③ cotθ= (2) 나눗셈 관계 ① tanθ= ② cotθ= (3) 제곱관계 ① sin2θ+cos2θ=1 ② 1+tan2θ=sec2θ ③ 1+cot2θ=csc2θ     6. 값의 범위를 구하는 문제 　         ① sinθ=t 또는 cosθ=t로 치환하면 -1≤t≤1 ② tanθ=t로 치환하면 t는 모든 실수 ① sinθ+cosθ=t 또는 sinθ-cosθ=t로 치환하면 -≤t≤ ② sinθcosθ=t로 치환하면 -≤t≤     7. 삼각함수의 그래프 (1)       y=sinx의 그래프 ① x는 모든 실수, -1≤y≤1 ② 원점에 대칭, 주기= 2π y=cosx의 그래프 ① x는 모든 실수, -1≤y≤1 ② y축에 대칭, 주기= 2π y=tanx의 그래프 ① x≠nπ+, y는 모든 실수 ② 원점에 대칭, 주기= π     8. 삼각함수의 그래프 (2)   　   y=asinωx, y=acosωx의 그래프 : 주기 ,  최대값 |a|,  최소값=-|a| y=asin(ωx+α), y=acos(ωx+α)의 그래프 주기 ,  최대값 |a|,  최소값 -|a|   y=atan(ωx+α)의 그래프 주기 ,  최대, 최소값은 없고, ωx+α=nπ+일 때 불연속     9. 삼각함수의 주기와 응용 　       sinx, cosx의 주기=2π tanx의 주기=π ① sin(2π+x)=sinx ② cos(2π+x)=cosx ③ tan(π+x)=tanx |sinx|, |cosx|, |tanx|의 주기=π ① |sin(π+x)|=sinx ② |cos(π+x)|=cosx ③ |tan(π+x)|=tanx 주기와 주기함수 모든 x에 대하여 f(x+p)=f(x)이 성립할 때, 함수 f 는 주기 p인 주기함수 주기 p는 가장 절대값이 작은 양수 값으로 나타낸다.     10. 90°n+θ 의 삼각함수 　       90°n±θ의 삼각함수 n이 짝수이면 함수는 그대로 : sin → sin,  cos → cos,  tan → tan  n이 홀수이면 함수를 바꾼다 : sin → cos, cos → sin,  tan → cot 부호는 θ를 예각으로 취급할 때, 90°±θ가 속한 사분면에서 원래의 함수의 부호에 따른다. (예) sin(90°±θ)= ① n이 짝수 : sinθ 또는 -sinθ ② n이 홀수 : cosθ 또는 -cosθ     11. 최대, 최소     　 (1) -1≤sinx≤1, -1≤cosx≤1 ← 각의 범위에 제한이 없을 때... (2) asin(ωx+α), acos(ωx+α)의 최대 최소     최대값=|a|+b, 최소값=-|a|+b  ← 각의 범위에 제한이 없을 때... f(sinx), f(cosx)의 최대, 최소 ① sinx=t 또는 cosx=t로 치환한다. ② t 의 범위를 구한다. ③ f(t)의 최대, 최소를 구한다.     12. 최대 최소 응용     　 sinx, cosx로 통일하기 어려운 함수의 최대, 최소값을 구할 때는 다음 치환을 이용한다. 이 때 x에 의해 주어진 a, b의 범위에 유의한다. sinx=a, cosx=b로 놓으면 a2+b2=1     13. 삼각방정식의 풀이법     　 삼각함수 값이 같은 동경 ⑴ sinα=a이면 sin(π-α)=a  ← α 와 π-α의 동경은 y축에 대칭 ⑵ cosα=a이면 sin(-α)=a  ← α 와 -α의 동경은 x축에 대칭 ⑶ tanα=a이면 sin(π+α)=a  ← α 와 π+α의 동경은 원점에 대칭 삼각방정식의 일반해 ⑴ sinα=a일 때, sinx=a의 일반해 x=nπ+(-1)nα ⑵ cosα=a일 때, cosx=a의 일반해 x=2nπ±α ⑶ tanα=a일 때, tanx=a의 일반해 x=nπ+α     14. 삼각부등식의 풀이법 　         sinθ=에서 y가 크면 sin값이 크다. ① sinθ>a → 두 동경의 윗부분 ② sinθ<a → 두 동경의 아래부분 cosθ=에서 x가 크면 cos값이 크다. ① cosθ>a → 두 동경의 오른쪽 ② cosθ<a → 두 동경의 왼쪽 tanθ=는 동경 OP의 기울기 ① tanθ>a → 동경의 기울기가 큰 쪽 ② tanθ<a → 동경의 기울기가 작은 쪽     15. 삼각방정식과 부등식의 응용   　     sinx, cosx가 함께 들어 있는 삼각방정식 ① sin2x+cos2x=1을 써서 한 종류의 삼각함수로 통일한다. ② 인수분해하여 sinx=a, cosx=a, tanx=a를 유도한다. ① sinx=a (|a|<1)의 일반해 x=nπ+(-1)nα      sinx=1의 일반해 x=2nπ+, sinx=-1의 일반해 x=2nπ- ② cosx=a (|a|<1)의 일반해 x=2nπ±α      cosx=1의 의 일반해 : x=2nπ, cosx=-1의 일반해 : x=2nπ+π ③ tanx=a의 일반해 x= nπ+α      16. sine 정리 　       △ABC의 세 변이 AB=c, BC=a, CA=b이고 외접원의 반지름이 R일 때 = 2R ① === 2R ② sinA : sinB : sinC = a : b : c 삼각형의 두 변과 한 내각이 주어질 때,  다른 두 각을 구하려면? ① = ② C=180°-(A+B)     17. cosine 제 1정리 　       cosine 제1정리 ① a=bcosC+ccosB ② b=ccosA+acosC ③ c=acosB+bcosA cosine 제1정리는 30°, 45°, 60°, 120°, 150°등이 아닌 각의 대변을 구할 때 쓴다.     18. cosine 제 2정리 　       cosine 제 2정리 ① a2=b2+c2-2bccosA ② b2=c2+a2-2cacosB ③ c2=a2+b2-2abcosC cosine 제 2정리는 두 변과 그 사이에 낀 각이 주어질 때 각의 대변을 구할 때 쓴다. cosine 제1정리로 부터 유도되는 피타고라스정리의 확장정리.     19. 삼각형의 넓이 　       삼각형의 넓이 삼각형의 넓이 S=bc.sinA ← 두 변과 그 사이에 낀 각을 알 때 외접원의 반지름 R과 넓이 S==2R2sinAsinBsinC 내접원의 반지름 r과 넓이 S=rs, s=(a+b+c) Heron의 공식 S=, 2s=a+b+c ← 세 변의 길이를 알 때     20. 내접원과 외접원     　 △ABC의 세 변 a, b, c가 주어지면 삼각형의 넓이 S와 외접원. 내접원의 반지름 R, r을 구할 수 있다. 삼각형의 넓이 S=, 2s=a+b+c  ← 헤론의 공식 내접원의 반지름 r=, 외접원의 반지름 R=     21. 삼각형의 풀이법 　       두 변과 한 각이 주어질 때 ① 각을 구하려면 =을 이용  ← sine 정리 ② 변을 구하려면 a2=b2+c2-2bc.cosA를 이용 ← cosine 제 2정리 두 각과 한 변이 주어지고 다른 변을 구할 때 ① 특수각에 대한 변이면 =을 이용 ② 특수각에 대한 변이 아니면 sine정리와 cosine 제1정리를 이용 세 변이 주어지고 각을 구할 때 cosA=를 이용     22. 삼각형의 모양 　       삼각형의 모양을 구할 때는 각을 변으로 나타내어 변과 변 사이의 관계를 유도한다. (1) sinA=  (2) cosA=  cosA=을 적용할 때 식이 복잡해지면?  cos2A=1-sin2A를 써서 sine으로 고치고 sinA=를 적용     23. 여러 가지 공식과 정리 　         사변형의 넓이 ① 평행사변형의 넓이 S=xysinθ ② 사각형의 넓이 S=xysinθ 각의 이등분선의 성질 ∠A또는 그 외각의 이등분선은 BC를 AB : AC로 내분 또는 외분한다. 중선정리 AB2+AC2=2(AM2+BM2)     24. 원에 내접하는 다각형     　 (1) 원에 내접하는 다각형은 삼각형으로 나누어 생각한다. (2) 원에 내접하는 사각형의 성질  ① 대각의 합은 180°    ② AP.PC=BP.PD   ③ AB.CD+AD.BC=AC.BD